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谷本の備忘録・雑記帳・work

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月: 2016年9月

MONTHLY ARCHIVE

3次体でのJPAの拡張の一つのアルゴリズム候補

学生の頃、一時期3次体での連分数の拡張であるJPA(Jacobi-Perron-Algorithm)を調べていた事があった。Raspberry piにMathematicaが入っていたので、JPAをベースに発展させたいくつかのアルゴリズムを試してみた。 あるアルゴリズムで、周期が長いが循環しそうなものがあったので記録する。但し、まだ、実験だけであり、理論的に循環するかどうかは未着手。また、欠点として周期が長い事、その結果、これから得られる単数が大きいものとなってしまっている事がある。
なお、他に循環しそうなアルゴリズムとして田村氏及び安富氏によるAJPA(Algebraic Jacobi-Perron algorithm)があるとの事。

アイデアは、普通のJPAが、(ξ,η)から((η-v)/(ξ-u),1/(ξ-u))のペアを導出するのに対し、((η-v-wξ)/(ξ-u), 1/(ξ-u))のペアを導出するもの。
x^3+bx+c=0の形の定義式の場合、(b,c)=(-4,-1)~(-11,-13)まで実験して全て循環した。
また、(-217,-1)~(-217,-50)の実験でも循環した。但し周期長が、(-217,-6)の場合で615、(-217,-24)の場合で2043となるなど大きなものとなってしまう。
(-217,-1)~(-217,-1230)でも循環 (2017/3/25)

今日はここまで 2016/9/11

追記:pure cubic caseも、循環しそう。 m=2~119でm^(1/3)で実験してみたところ、全て循環した。 2016/9/16

追記:m=2~7999で追加実験してみても、全て循環した。なお、周期は2mに近いものまであり。 2016/9/30
追記:raspiではなくPCで実施し、m=8000~16000でも循環を確認
2017/03/25

w=[φ(η)/φ(ξ)] where φ(αθ^2+βθ+γ)=αθ^2+kβ (k<>-1:有理数)の場合は実験の結果は循環しそう。 証明はまだできない。
2016/10/21

いろいろ試すが、有界に導く道筋が一向に見えない。実験でも、循環するという事以外、制約の傾向が見えない。2016/11/22

まだ、めぼしい進展なし。2つの元だと評価が難しいので、外積もどきの元で何か言えるか?  2016/12/6

進展なし。
一方、w=[(αα’+ββ’)/(α^2+β^2)]で決定した場合、実験からは循環しそうである。今度はこれに取り組んでみる事にする。
2016/12/21
w=[(α’+β’)/(α+β)]でも同じ。 2016/12/21

w=Round((αα’+ββ’)/(α^2+β^2)) 及びw=Round((αα’+ββ’)/(α’^2+β’^2))を使ってw=0になるまで繰り返すと、(α,β)と(α’,β’)のなす角度は±60度以上となる。
但し、ξとηの値が正になるとは限らなくなる。
1/(αβ’-α’β)が有界という事がまだ示せれない。
2017/5/22 追記

なんとなく、アルゴリズムを調整すれば、循環が言えそうな感じがするところまできた。
 但し、このアルゴリズムでは循環の周期が長くなる、また、得られる単数も、もともと考えていたアルゴリズム(実験では循環)より大きい。そのうえ、他のタイプのアルゴリズムでの循環に結びつかない。 それでも証明できるのは大きいので、間違いがないか確認してみる事にする。
2017/5/29追記
残念ながら、勘違いあり。証明までいかず。 2017/5/30追記

アルゴリズムを微調整したところ、証明できた。
これから、証明を整理する。
整理以外の今後の課題は、このアルゴリズムがさらに高次元に拡張できるかどうか、また、循環の周期を短くできるか、循環の周期から得られる単数がどの様なものか特定できるか、など。
2017/5/31追記

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